向量法在立几中的利与弊

【摘要】数学教学是引导学生发现问题,解决问题、解决问题时往往体现创新能力,创新来自数学问题的研究,数学问题出自数学情景.因此,创设好数学情景,找到好的切入口,引导学生观察、分析、质疑,解决问题,从而达到提高数学课堂教学的质量。在立体几何教学中，会运用向量法，只有合理进行方法的运用才能够更好地完成立体几何知识的学习.基于这种认识，本文对向量法的运用问题展开研究，以便更好地理解和运用这种方法.

【关键词】；向量法；立体几何教学；

在高中数学教学中，立体几何通常被划分为两个部分教学.在学习的过程中，学生将掌握综合法和向量法.运用这两种方法，可以加强学生空间想象力和论证推理能力.但在解题的过程中，还应灵活进行解题方法的选择，才能够确保立体几何问题得到顺利解决.

一、向量法在立体几何教学中的运用目的

在解答高考题时，立体几何试题的设计往往可以运用综合法和向量法这两种方法进行解答.立体几何教学是学生的空间想象力、图形语言能力、论证推理能力.就目前来看，由于使用向量法可以完成程序化操作，无须进行过多思考，很多学生更倾向于使用向量法解答立体几何问题.然而，偏重使用向量法解题，并不利于学生推理论证和空间想象等能力的培养.

二、综合法与向量法在立体几何教学中的运用方法对比

（一）综合法的运用

使用综合法解立体几何题目，要求学生拥有一定的空间构造能力，可以排除点、线、面之间的相互干扰，从而发现题目的隐含条件，并进行问题的求解.为研究综合法的运用方法，可以一道试题为例，对其解题过程展开研究.

例1如右图所示，P为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，圆锥底面与母线夹角为22.5°，底面圆上有两条平行线AB和CD，轴OP与平面PCD夹角为60°.需证明：平面PCD与平面PAB的交线与地面平行.

在求解该例题时，通过分析可以发现，问题考查的是学生对空间直线与平面的位置关系的理解，需要学生拥有计算直线与平面和直线与直线夹角的知识和技能.而这种类型的几何模型通常如果利用空间直角坐标系求解，不容易完成三垂直关系的查找，也不好计算点的坐标.所以，如果使用向量法求解，将使问题更加复杂.使用综合法求解，则可以通过画辅助线求解，从而使问题得到简化.具体来讲，就是设平面PAB与PCD的交线为l，然后作图，并使l与AB平行.根据线面平行的判定定理和性质定理以及公理1，就可以证明l与底面平行.

在实际做辅助线时，不少学生难以找到二面角的平面角.而使用三垂线定理，则能够帮助学生提高解题效率.在计算角时，则要将其放在三角形中，然后利用三角形知识进行角的求解.

（二）向量法的运用

使用向量法解答立体几何，可以直接帮助空间想象力稍差的学生摆脱点、线、面关系的困扰，也无须进行辅助线的添加，只需计算坐标就能够得知角度、距离和位置等关系.但是，使用向量法需要完成合适的空间坐标系的建立，才能够顺利完成问题的求解.在具体建立空间坐标系时，可以利用线面垂直关系、面面垂直关系、正棱锥中心与高所在直线或共顶点相互垂直的三条棱完成空间直角坐标系的构建.为研究向量法的运用方法，可以下面的试题为例，对其解题过程展开研究.

例2四边形ABCD为矩形，满足AB=2BC=2.平面ABCD⊥平面PCD，△PAB为正三角形，O为CD中点，且BO⊥PA，求二面角B-PA-D的余弦值.

分析例题可以发现，根据已知条件，可以D为坐标原点进行空间直角坐标系的构建.坐标系的X轴为DC所在射线，Y轴则为DC右侧与DC垂直的射线，Z轴为DA所在射线.该坐标系为右手系，由于△ADP≌△BCP，所以CP与DP相等，OP垂直于CD，所以PO平行与Y轴.经过计算，可以得出OP=2.由此，就可以得到A、P、O、B各点坐标.在对二面角B-PA-D的平面角进行求解时，可以将其转化为两个平面法向量间夹角或补角，然后写出各向量坐标，并运用向量法完成各向量坐标求解.在此基础上，完成向量间夹角的计算，就可以完成二面角的余弦值求解.

在实际解题时，一些学生会认为建坐标系比较困难.针对这一问题，教师需要指导学生学会利用已知点和已知直线建系，并且完成两两垂直的三直线的查找.考虑到教科书中建立的空间直角坐标系都是右手系，学生还应该尽量建立右手系，以免对教师评分产生影响.在选取二面角时，还要根据法向量的选取方向进行二面角的选取.为避免学生在看图上出现误差，教师可以补充案例说明二面角的判断方法.在法向量方向都指向二面角外部或内部的情况下，法向量与二面角的夹角是互补关系.反之，则法向量与二面角的夹角相等.

（三）方法的对比分析

对比综合法和向量法的运用过程可以发现，向量法的思路更为简单，但是需要学生拥有一定的计算功底.学生在计算向量坐标时，需要确保点的坐标完全正确，才能避免后续计算不会完全徒劳.所以，向量法是利用空间向量和立体几何间的联系进行立体几何的解释，从而通过运算空间向量得到立体几何结论.而综合法则能够更好地体现立体几何课程的开设意图，可以引导学生思考立体空间中点、线、面的关系，有利于培养学生的空间想象能力.但是对于空间想象力较差的学生来讲，想要利用综合法解决立体几何问题需要花费一定的时间思考.因此，在立体几何教学中，向量法和综合法各具一定的优缺点。

总之，向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行，这样使问题坐标化，符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。